読書ログ | 数学セミナー増刊 入門現代の数学4「線形代数と特殊相対論」

第1章 ベクトル空間

SS1 ベクトル空間

ここは一般的なものと同じ

テキストでは零元の存在を条件に加えていた

(略)

SS2 ベクトル空間の次元

$ \exist n\in\Z_{\ge0}.n\text{個の線型独立なvectorsが存在する}\\\land\forall m>n.m\text{個のvectorsは全て線型従属である}

テキストでは解説編Iで後述している

SS3 有限次元ベクトル空間の基底

割愛

SS4 部分ベクトル空間

$ \forall\lambda,\mu\in\underline K\forall\bm a,\bm b\in\underline S.\lambda\bm a+\mu\bm b\in\underline S

第4章で「線型部分空間」が出てきて、ややこしい

同じものなのかはまだわからない

SS5 ユークリッド的ベクトル空間

割愛

第2章 テンソル

$ \forall a,b\in\R\forall\bm u,\bm v\in\underline V.\alpha(a\bm u+b\bm v)=a\alpha(\bm u)+b\alpha(\bm v)

例：

$ \alpha:\bm u\mapsto\bm a\cdot\bm u

共変vectorの成分表示

$ \alpha(\bm u)=[\bm u]^{\sf\bar E}_i\alpha(\bm e_i)

共変と反変の命名の由来

$ [\bm u]^{\sf\bar E}_i=[\bm I]^{\sf\bar EF}_{ij}[\bm u]^{\sf\bar F}_j

反対だから反変

$ \alpha(\bm e_i)=[\bm I]_{ij}^{\sf E\bar F}\alpha(\bm f_j)

同じだから共変

$ \alpha(\bm u)=[\bm u]^{\sf\bar E}_i\alpha(\bm e_i)

$ = \bm u\cdot\alpha(\bm e_i)\bar\bm e_i

SS2 テンソル

このテキストでは明記されていない

一般的な定義とのズレは不明

SS5 外微分形式

$ \lim_{h\to0}\frac{\varphi(\bm p+h\bm u)-\varphi(\bm p)}{h}=\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}\varphi(\bm p+h\bm u)\right|_{h=0}

$ =\left.\frac{\partial}{\partial h}\varphi({\bar e}^*_j(\bm p+h\bm u)\bm e_j))\right|_{h=0}

$ = \left.\left.\frac{\partial}{\partial e^i}((e^0,e^1,\cdots e^n)\mapsto\varphi(e^j\bm e_j))\right|_{e^k={\bar e}^*_k(\bm p+h\bm u)\text{ .for}\forall k}\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}{\bar e}^*_i(\bm p+h\bm u)\right|_{h=0}

$ = \left.\frac{\partial}{\partial e^i}((e^0,e^1,\cdots e^n)\mapsto\varphi(e^j\bm e_j))\right|_{e^k={\bar e}^*_k(\bm p)\text{ .for}\forall k}{\bar e}^*_i(\bm u)

$ \mathrm d\varphi:\mathscr R\ni P\mapsto\left.\frac{\partial}{\partial e^i}((e^0,e^1,\cdots e^n)\mapsto\varphi(e^j\bm e_j))\right|_{e^k={\bar e}^*_k(\bm p)\text{ .for}\forall k}{\bar e}^*_i\in\underline V^*

と定義する

$ \mathrm d\varphi:\mathscr R\ni P\mapsto\left(\bm u\mapsto\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}\varphi(\bm p+h\bm u)\right|_{h=0}\right)\in\underline V^*

となる

$ \mathrm d{\bar e}^*_\bullet=\left.\frac{\partial}{\partial e^i}((e^0,e^1,\cdots e^n)\mapsto{\bar e}^*_\bullet(e^j\bm e_j))\right|_{e^k={\bar e}^*_k(\bm p)\text{ .for}\forall k}{\bar e}^*_i

$ =\left.\frac{\partial}{\partial e^i}((e^0,e^1,\cdots e^n)\mapsto e^j{\bar e}^*_\bullet(\bm e_j))\right|_{e^k={\bar e}^*_k(\bm p)\text{ .for}\forall k}{\bar e}^*_i

$ =\left.\frac{\partial}{\partial e^i}((e^0,e^1,\cdots e^n)\mapsto e^j\llbracket\bullet=j\rrbracket)\right|_{e^k={\bar e}^*_k(\bm p)\text{ .for}\forall k}{\bar e}^*_i

$ =\left.\frac{\partial}{\partial e^i}((e^0,e^1,\cdots e^n)\mapsto e^\bullet)\right|_{e^k={\bar e}^*_k(\bm p)\text{ .for}\forall k}{\bar e}^*_i

$ =\left.\llbracket i=\bullet\rrbracket\right|_{e^k={\bar e}^*_k(\bm p)\text{ .for}\forall k}{\bar e}^*_i

$ =\left.1\right|_{e^k={\bar e}^*_k(\bm p)\text{ .for}\forall k}{\bar e}^*_\bullet

$ = {\bar e}^*_\bullet

$ \bm\nabla(\bm r\mapsto\bar\bm e_\bullet\cdot\bm r)=\bar\bm e_\bullet\cdot\bm\nabla(\bm r\mapsto\bm r)=\bar\bm e_\bullet\cdot\bm I=\bar\bm e_\bullet

である

$ (\mathrm d\alpha)(P)(\bm u)=\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}\alpha(\bm p+h\bm u)\right|_{h=0}

$ =\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}(\alpha(\bm p)+h\alpha(\bm u))\right|_{h=0}

$ =\left.\alpha(\bm u)\right|_{h=0}

$ = \alpha(\bm u)

$ \therefore(\mathrm d\alpha)(P)=\alpha